Címkearchívumok: paradoxon

Miért lehetetlen a mozgás?

Fizika, , , , , ,

Az eleai Zénón után 2500 évvel én is ugyanarra a következtetésre jutottam, mint ő, a logika egyszerű eszközeivel: a mozgás lehetetlen. Illetve, persze lehetséges, hiszen nap, mint nap reggelente bemegyek a munkahelyemre és hazamegyek minden délután, a tapasztalat azt mutatja, hogy mozgás van, és a világ állandó mozgásban van.

A pontosabb megfogalmazás tehát inkább az, hogy a tapasztalatunk szerint mozgás van, de a hétköznapi fogalmainkkal és az általunk használt logikával megmagyarázhatatlan hogyan lehetséges, és hogyan működik. Valami alapvető hiányzik abból, amit a mozgással kapcsolatban tapasztalunk, érzünk és gondolunk, valami alapvető, ami nélkül az egésznek nincsen semmi értelme.

A munkaidő végefelé, úgy gondoltam, itt az idő hazaindulni, és valamilyen ihlettől vezérelve, ezt úgy fogalmaztam meg hangosan kimondva, hogy „Na, portoljunk haza.” Aztán az esőben lépkedve már a járdán, így szóltam magamban: „Na, teleportáljunk haza.” És ahogy lépkedtem, egyik lépést megtéve a másik után, elképzeltem, ahogy a tér atomjain lépkedek, és rádöbbentem, hogy valójában ugrálok a tér részecskéin, és két részecske között a semmiben teleportálok egyikről a másikra.

A mozgás valójában teleportálás!

Zénón csupán a logika eszközeivel teljesen fölfedte a mozgással kapcsolatos összes problémát, paradoxonjai tökéletesen megmutatják, miért értelmezhetetlen a mozgás az emberi logika eszközeivel. És bár sokan próbálták már látszat problémaként bemutatni a paradoxonokat, valójában ezek mind a mai napig megoldatlanok.

A mozgás első közelítésben egyszerű: adott két pont a térben, a kezdő-, és a végpont, és egy test, legegyszerűbb esetben egy tömegpont, ami véges idő alatt eljut a kezdőpontból a végpontba. A nehézségek ott kezdődnek, amikor megpróbáljuk ennek a folyamatnak a részleteit elképzelni. A két pont közötti tér lehet folytonos vagy lehet diszkrét pontokból álló, harmadik lehetőséget jelenleg nem tudunk elképzelni.

Nézzük a folytonos tér esetét, ebben az esetben a kezdőpont és a végpont között végtelen számú pont van, amiken a test mozgása közben áthalad, illetve amiket érint a mozgása során. Zénón megmutatta, hogy a mozgás nemhogy nem lehetséges, de el sem kezdődhet, nem tudjuk megmondani, hogy a kezdőponthoz melyik pont van a legközelebb, azaz nincs a kezdőpontra rákövetkező pont. Tehát ha a mozgást úgy képzeljük el, hogy a test sorban érinti a kezdő-, és végpont közti pontokat, akkor bajban vagyunk, hiszen nem tudjuk a pontokat sorba rendezni, mert nincs egy ponthoz rákövetkező pont, közvetlen szomszéd, bármelyik pontról hisszük is, hogy az a következő pont, mindig lesz egy újabb pont, ami közelebb van a kiinduló ponthoz. Folytonos tér esetén tehát a mozgást lokálisan nem tudjuk leírni, azaz a kezdő-, és végpont közötti elmozdulást nem tudjuk kisebb mozgásokra felbontani, mert amíg a kezdő-, és végpontot azonosítani tudjuk, nem tudjuk azonosítani a pontokat, amelyeken a mozgás végighalad, csak azt tudjuk mondani, hogy ezek a pontok a kezdő-, és végpont között vannak. Akármilyen kicsire is választjuk a két pont közti távolságot, a probléma ugyanaz marad, mérettől függetlenül.

Képzeljük el most, hogy a tér diszkrét, azaz a kezdő-, és a végpont között véges számú pont van, minden ponthoz tudunk rákövetkező pontot rendelni. Vegyünk most két szomszédos pontot, az egyikből induljon el a mozgás, és érjen véget a másikban. Mivel a mozgó test is térkvantumokból áll, képzeljünk el egyetlen térkvantumot, a két szomszédos térkvantum között elmozdulni. Ehhez idő kell, ha nem kellene, akkor végtelen sebességű mozgás is létezne. Ráadásul a térkvantumnak kell, hogy kiterjedése legyen, különben nem lehetne nullától különböző méretű távolság. De ez olyan kiterjedés, amiben nem lehet mozogni, vagy egy teljes térkvantumot átugrunk, vagy maradunk ott, ahol vagyunk. És mivel két térkvantum között nem lehetünk, az ugrás pillanatnyi, idő akkor telik, amikor egy-egy térkvantumban vagyunk.

Zénón stadion paradoxona viszont világosan megmutatja, hogy a diszkrét tér sem oldja meg a mozgás problémáját. Ha „A” test a „B”-hez képest balra mozdul el egy térkvantumnyit egy időkvantum alatt, egy „C” test pedig „B”-hez képest jobbra mozdul ugyanennyivel, akkor a „C” az „A”-hoz képest jobbra mozdul el két térkvantumnyit, egy időkvantum alatt, ami lehetetlen. Emiatt az idő nem lehet ugyanúgy kvantált mint a tér, és nem lehet maximális sebesség, mert a relatív mozgás miatt mindig átléphető ez a sebesség.

Két megoldás kínálkozik, az egyik a speciális relativitáselmélet, a másik, számomra szimpatikusabb megoldás az abszolút téridő, mert ebben az esetben az abszolút térhez kell viszonyítanunk minden mozgást, és ehhez képest létezhet határsebesség. Ebben az esetben viszont két test mozoghat egymáshoz képest a határsebességnél nagyobb sebességgel úgy, hogy az abszolút térhez képest nem lépik át a határsebességet. Azért ez is eléggé furcsa következmény.

Látjuk tehát, hogy sem a tér folytonos, sem a kvantumos természete nem magyarázza meg, hogyan lehetséges a mozgás lokálisan. Az igazi megoldás tehát, úgy néz ki, hogy nem ragadható meg lokálisan, csak globálisan, azaz csupán logikával oda jutottunk, ahová a kvantummechanika jutott el az összefonódással, a Bell-egyenlőtlenséggel és az Aspect-kísérlettel. A valóság nem-lokális.

Még érdekesebb Zénón nyíl paradoxona, ahol egy repülő nyíl kapcsán teszi fel a kérdést, valójában honnan tudja a nyíl, hogy repül. Hiszen minden időpillanatban ugyanakkora térrészt foglal el, mint nyugalmi állapotában, ha pillanatfelvételt készítünk egy repülő nyílról, az semmiben sem fog különbözni egy álló nyílról készített képtől. Első ötletünk az lehet, hogy a repülő nyíl mégiscsak különbözik valami olyasmiben az álló nyíltól, amit nem láthatunk, de ami valójában ott van a nyílban. Ez az impulzus, ami valójában a sebesség. A baj ezzel csupán annyi, hogy a sebesség nem lehet a nyíl tulajdonsága, ugyanis két, a felszínhez képest ugyanakkora sebességgel, azonos irányba repülő nyíl relatív sebessége nulla! Tehát a két nyíl nem viheti magával a sebesség tulajdonságot, hiszen minden egyes hozzájuk képest mozgó testnek más és más információt kellene mutatniuk, egymáshoz képest például éppen nullát. És itt újra felmerül az abszolút mozgás, ekkor ugyanis minden test magával viszi az abszolút térhez képesti sebességének információját, és ez az információ lokálisan módosulhat az egymáshoz képest történő mozgással. A relatív mozgással kapcsolatban nem is igazán az impulzus az érdekes, hanem a mozgási energia. Azt hinnénk, hogy a mozgási energia a mozgó test sajátja, de rögtön megérthetjük, hogy nem így van, ha megvizsgáljuk az egymáshoz képest különböző irányokban mozgó, ütköző testek viselkedését. Két test egymással szemben ütközve hatalmas energiát szabadíthat fel az ütközés során, míg ugyanabba az irányba haladva azonos sebességgel, még csak össze sem ütköznek. Hogy lehet ennyire különböző az ütközési energia nagysága, ha a mozgási energia a mozgó testek tulajdonsága? Mondhatjuk, hogy az impulzus vektormennyiség, ezért az irány fontos, csakhogy a mozgási energia viszont skalár, ennek nincsen iránya. Nagyon úgy tűnik, hogy makroszkopikusan és lokálisan a mozgás nem magyarázható sehogyan sem. Kell a kvantummechanika a maga valószínűségi hullámával, vagy vezérhullámával, szükséges a hullámfüggvény összeomlása, az irreverzibilitás. És kell az is, hogy a hullámfüggvény kiterjedjen, akár az egész Univerzumra. És amikor a vezérhullám összeomlik, akkor valójában teleportálás zajlik, egyetlen pontban manifesztálódik a mozgó részecske, hogy egy pillanat múlva a vezérhullám már újra szétterjedjen, hogy kitapogassa hol és mikor lesz a következő kollapszus. Nincs tehát pontról pontra vándorló részecske, hanem eltűnő és máshol és más időben újra megjelenő részecske van, ami a mozgásával kapcsolatos információt a globális vezérhullámban őrzi, a relatív mozgás valójában a vezérhullámok kölcsönhatása.

Tulajdonképpen nem sokra jutottunk. Ugyanott tartunk, mint Zénón, a mozgást sem elképzelni, sem magyarázni nem tudjuk a hétköznapi fogalmainkkal. Itt van tehát valami hétköznapi, ami lokálisan egyelőre megmagyarázhatatlan. Valami, ami van, de ami nem lehetne. A világ legegyszerűbb jelenségeit sem tudjuk megmagyarázni. Mindannyian mozgunk a térben, de nagyon kevesen gondolkodunk el azon, hogyan is lehetséges, hogyan is történik mindez.

És én ebben a pillanatban nem tudok olyan emberről, aki valóban értené, mi is a mozgás.
Gerd Altmann képe a Pixabay -en.

A születés paradoxona

Napló, , , ,

Egy, a napokban történt esemény újra felelevenítette bennem a kérdést, ami már korábban is foglalkoztatott: szabadnak hisszük magunkat, mégis a születésünk előtt senki sem kérdezi meg, akarjuk-e az életet.

Egy galamb két tojást költött ki az erkélyemen, egy virágládában, és akárhányszor kimegyek megnézni a kicsiket, csodálatos élmény látni, ahogy fejlődnek. Tudom, sokan nem szeretik a galambokat, én mégsem tudtam kidobni a két kis fehér tojást, amikor felfedeztem őket. Életet szándékosan nem pusztítok el, ehhez szigorúan tartom magam. Egészen misztikus belegondolni, hogy gyakorlatilag a semmiből, két élettelen valamiből (ezek a tojások), egyszercsak két izgő-mozgó pelyhes élőlény lesz. Mozdulatlan molekulahalmazból (fehérje, sárgája, a hártya, a légbuborék és a héj) élő kismadarak lesznek, amik rövidesen repülni fognak.

Vajon milyen életük lesz, érdemes volt hagyni őket kikelni? Vagy csupa szenvedés lesz a részük, amit a tojások kidobásával megelőzhettem volna?

A kérdés tehát ez: miért nem dönthetünk arról, hogy megszülessünk-e? És amiért ez paradoxon, az az, hogy emberi logikával nem tudunk a kérdéssel megbírkózni. Nem is paradoxon igazából, inkább egy megválaszolhatatlan kérdés. És azért megválaszolhatatlan, mert kívülre mutat a létezésünkön, a gondolkodásunkon, a kérdés kívül van azon a területen, ahol még a logikánk törvényei érvényesek. Ahhoz, hogy dönthessünk, egyrészt képesnek kell lennünk a döntésre, másrészt ismernünk kell azt, amivel kapcsolatban döntenünk kell.

Mielőtt megszületünk, nincs énünk, nincsenek gondolataink, dönteni sem tudunk. De ha mindezek birtokában lennénk is, akkor sem ismernénk az életet, amiről döntenünk kell. Tehát a döntéshez, hogy akarjuk-e az életünket, előbb élnünk kell, és nem elég egy filem megnézni az életünk folyamát, éreznünk kell ugyanúgy, mintha valóban élnénk. És ez egy végtelen rekurzió, ahhoz, hogy döntsünk arról, akarunk-e élni, előbb végig kellene élnünk az életet, de ehhez előbb döntenünk kell abban, akarjuk-e végigélni az életünket, ahhoz, hogy dönteni tudjunk, akarjuk-e végigélni az életünket, és így tovább, a végtelenségig. És még ha nem is ütköznénk egy végtelen, végre nem hajtható procedúrába, máris itt van egy újabb kérdés, amiben szintén nem tudunk logikával dönteni: hogyan tudjuk a jót és a rosszat összemérni?

Mert mindenki életében vannak jó és rossz történések, jó és rossz élmények. Lehet-e ezeket egyszerűen összegezni, és ha az összeg a jó irányába mutat, akkor biztosan választhatjuk-e a születést, vagy zárjunk ki minden rosszat, és csak akkor akarjunk megszületni, ha semmi rossz nem történik majd velünk? Az érzések, élmények nem összemérhetők, nem összegezhetők, így ezek alapján nem dönthetnénk még akkor sem, ha amúgy lehetőségünk lenne.

És most eljutottunk az igazán lényeges és igazán kényes kérdésekhez, ezeket sajnos kevés hívő ember teszi fel magának, pedig szembe kellene velük nézni mindenkinek. Vajon gonosznak nevezhető-e Isten, amikor engedi, hogy fogyatékos gyermekek szülessenek, vagy megszületett gyermekek fiatalon meghaljanak? Ha megkérdeznénk ezeket a gyermekeket, akarnak-e megszületni, ők vajon mit választanának? A kérdés a fent elmodottak szerint megválaszolhatatlan.

Ezért az a kérdés is eldönthetetlen, hogy Isten gonosz-e vagy sem. A személyes véleményem az, amit már több írásomban kifejtettem, az Univerzum mindenütt az aprólékos tervezés jeleit mutatja, egy teremtő, aki képes ilyen világot létrehozni a semmiből, nem lehet gonosz, ugyanakkor a világban kétségkívül jelen van a gonosz is. Ezzel a kettősséggel kell együttélnünk.

És ha egyszer mégis lehetőségünk lesz arra, hogy döntsünk abban, akarunk-e csupán egyetlen napra a Földre születni, egyetlen napot végigélni, vagy inkább szeretnénk örökké a nemlétben maradni, válasszuk az életet. Válasszuk azt az egyetlen, hihetetlen, csodálatos napot.

Mert az élet élni akar, és ez a születés paradoxona.

Cím nélkül

Filozófia, ,

Vajon paradoxon-e ha egy írásnak az a címe, hogy „Cím nélkül”?

Nem feltétlenül. Egy újabb írás a kontextusról, a rejtett dimenziókról, és arról, hogy az emberi gondolkodás a sikeres és hatékony kommunikáció érdekében, mi mindent használ fel anélkül, hogy tudnánk róla. Emiatt aztán a nyelv és a megértés, a kifejezés egyáltalán nem annyira egzakt, mint amit például egy matematikai állítástól elvárnánk.

Az első tisztázandó kérdés az, hogy van-e ennek az írásnak címe? Igen, van, bár maga a cím az, hogy „Cím nélkül”. Ez a két szó rendelkezik minden olyan tulajdonsággal, amit egy címtől elvárunk: ez az első sor, középre igazított, nagy kezdőbetűs, nincs a végén pont, nagyobb a betűmérete, mint a szövegnek, és még a színével is kiemelkedik a környezetből. Tehát ez egy korrekt, megfelelő cím.

Ráadásul, el is kerüli azt, hogy paradoxont okozzon, hiszen nem hivatkozik saját magára, olyasvalamiről szól, ami általános, közelebbről meg nem határozott. Valami, aminek nincs címe. Nincs tehát ellentmondás.

Ami miatt mégis furcsának érezzük, az már a rejtett dimenziókhoz tartozik. Tulajdonképpen már az, amit a cím jellemzőiről elmondtunk, részben az is ilyen, rejtett, konvencionális tulajdonság, ami nem tudatosodik bennünk. Egyszerűen ránézünk az első sorra, látjuk a színét, a betűnagyságot, az igazítást és érezzük, hogy ez egy cím, mégpedig ennek a szövegnek a címe. Ha viszont ennek a szövegnek a címe, akkor mégis csak van benne valami szokatlan. Ami az egészben az érdekes, hogy a cím nem a jelentése miatt kelti bennünk a paradoxon érzetét, hiszen a cím nem utal a szövegre. Amiben mégis kapcsolódik a szöveghez, azok a külső tulajdonságai, amikkel a jelentése ellenére azt sugallja, hogy ő bizony ennek a szövegnek a címe, és ezzel máris paradox helyzetet teremt, hiszen azt állítja, hogy az a szöveg cím nélküli, aminek pedig ő maga címe. De még egyszer hangsúlyozom, nem a cím jelentése az, ami paradoxont okoz, hanem a többi tulajdonsága, amelyek nem explicit, hanem implicit tulajdonságok, konvenciók alapján rögzültek bennünk, nem tudatosak, ezért nevezem őket rejtett dimenzióknak.

Anete Lusina fotója a Pexels oldaláró

A cím nem az, hogy „Ennek az írásnak nincsen címe” (ezzel önhivatkozó lenne), mégis a „testbeszéde” pontosan ezt mondja, amivel mégis önhivatkozóvá válik.

Így aztán van egy olyan címünk, ami attól függően kelt paradoxont, hogy a közvetlen (mit mond), vagy a közvetett (mit mutat a testbeszéde) jelentését tekintjük éppen. És ami különösen érdekes az emberi gondolkodásban az, hogy egyáltalán nem érezzük ezt zavarónak, sőt van akiket (engem is) kifejezetten szórakoztat és elbűvöl az ilyen kettősség. A paradoxonok is azért szórakoztatóak, mert valami olyasmit mozgatnak meg az agyban, ami különleges, borzongató érzéseket kelt, valószínűleg olyan vegyi anyagok felszabadításával, amik hasonlítanak a pszichoaktív anyagokhoz, nem annyira intenzív a hatásuk, mint a kábítószereknek, de mégis valamennyire megváltozott tudatállapotot okoznak, amit kellemesnek találunk. Ezért kedveljük annyira (talán mondhatom ezt többes számban), M. C. Escher, vagy René Magritte képeit, vagy a fraktálokat.

Sven Geier munkája

Az is érdekes a gondolkodásban, hogy még azt is megtehetem, hogy egyszerre érzem paradoxonnak és teljesen helyénvalónak ezt a címet, váltogatni tudom, hogy éppen melyiket érzem dominánsnak, és össze is tudom mosni a két érzést, mint ha interferáló kvantumhullámok lennének. Ilyesmit a matematika például nem enged meg. Ott egy valaminek egyszerre csak egy jelentése lehet, de a programozás sem ismeri a többes jelentést, egy kódban még csak le sem írhatunk ilyesmit, nemhogy megpróbálnánk végrehajtani egy ilyen programot.

Ezért is nevetséges (többek között) az, amikor valaki egy olyan ötlettel áll elő, hogy a világunk nem más, mint számítógépes szimuláció. A gondolkodás lényegesen bonyolultabb, másabb és több annál, mint amit programkóddal elő lehetne állítani. Egy program nem ismeri és kezelni sem tudja a paradoxonokat, az önhivatkozásokat, mert annak végtelen futásidő az eredménye. Ugyanígy nem ismeri a többes jelentést, valami vagy igaz, vagy nem. Egy mesterséges intelligencia nem tudná eldönteni, hogy ennek az írásnak van-e címe, vagy nincs. Mi sem tudjuk eldönteni, de bennünket ez nem zavar, és ahogy láttuk, képesek vagyunk egyszerre mindkét lehetőséget elfogadni. Az ilyen viselkedés ismeretlen egy számítógép számára.

Így jutottunk el egy írás kicsit furcsa címétől (vagy nem-címétől) a gondolkodás kvantumos jellegéhez és a szimulációs elmélet egyik gyenge pontjához.

Végezetül álljon itt egy, ehhez az íráshoz illeszkedő kérdés: „Van-e értelme a ’Van-e értelme erről a kérdésről gondolkodni?’ kérdésről gondolkodni?”.

Nyíregyháza, 2020. február 12. – 2020. február 15.

This page is intentionally left blank

Filozófia,

Talán nincs is olyan angol nyelvű könyv, amit mostanában olvastam, sőt megkockáztatom, talán egyáltalán nincs a világon egyetlen olyan angol nyelvű könyv sem, amely ne tartalmazna egy, vagy több olyan oldalt, melyen ez a felirat olvasható: „This page is intentionally left blank.”, azaz magyarul „Ez az oldal szándékosan üres.”

Nem hiszem, hogy rajtam kívül sokan fennakadnának ezen a mondaton. A könyvek olvasói szeretik, ha a könyv maga, illetve annak egyes fejezetei a jobb oldalon kezdődnek. Ugye, ha kinyitunk egy könyvet, bármelyik oldalán, akkor a könyv gerincétől jobbra és balra is lesz egy oldal. Ha egy fejezet jobb oldalon ér véget, valamiért kellemesebb a szemnek, ha a következő fejezet a jobb oldalon kezdődik. Ilyenkor persze a bal oldal üresen marad. És hogy az olvasó nehogy azt higgye, hibás könyvet tart a kezében, amelynek olyan oldala van, amelyre tévedésből nem nyomtattak semmit, a gondos kiadó ezért helyezi el a mondatot rajta: „Ez az oldal szándékosan üres.”

Egy valóban üres oldal

Ezzel ugyan biztosítja az olvasót arról, hogy hibátlan könyvet tart a kezében, ugyanakkor elkövet egy sokkal nagyobb hibát, nevezetesen azt, hogy hamis állítást helyez el az oldalon. Mivel az oldalon ott van a mondat, mely szerint maga az oldal szándékosan üres, de így már az oldal egyáltalán nem üres, tehát végeredményben kaptunk egy olyan könyvet, amely több hamis állítást is tartalmaz. Mit gondoljunk hát ezután a könyv érdemi tartalmáról, hogyan tudjunk ezután abban a könyvben megbízni.

Persze, mondhatjuk, hogy ez a „kákán is csomót keresés” tipikus esete, de azért ez nem így van.

Érdekes ugyanis végiggondolni azt, hogy egy nyilvánvalóan hamis állítást elolvasva, az emberek közel 100%-a egyáltalán nincs felháborodva, hiszen a hamis állításból is kikövetkezteti, mégpedig elég hamar, hogy mi is valójában a helyzet. Mindenki tudja, hogy egy olyan oldalról van szó, ami eredetileg üres lett volna.

Az olvasó tehát megalkuszik, elfogadja a hamis állítást, cserébe egy elég tömör mondatért. Hiszen írhatták volna azt is: „This page is intentionally not left blank.”, azaz „ez az oldal szándékosan nem üres.”. Ez már egy tökéletes igaz állítás lenne, igaz, kicsit furcsa. Olyan, mint az önmagára figyelmeztető tábla: „Vigyázat, a tábla eldőlhet!”. Igaz állítás, tökéletes mondat, csak éppen teljesen felesleges. Nyugodtan el is vihetjük a táblát, ezzel semmilyen veszélyt nem okozunk.

Vannak pontosabb és jobb megoldások, de ezek mind hosszabbak: „This page is intentionally left blank before we printed this sentence on it.” „Az oldal szándékosan volt üres, mielőtt idenyomtattuk ezt a mondatot.” Ez már tökéletesen kifejezi azt a kétfázisú állapotot, hogy az oldal eredetileg üres volt, mi fel akartuk az olvasó figyelmét hívni arra, hogy nem véletlenül az, ehhez viszont egy feliratot kellett idetennünk, ami miatt viszont az oldal végül is már nem üres. Pontosan érezzük a kezdő és végállapotot, csakhogy így a mondat túl hosszú. És ez az ami igazán érdekes, az emberi nyelv törekszik a rövidségre, a tömörségre, ami esetünkben azzal jár, hogy a rövidség oltárán feláldozzuk az igazságot. Legyen valami inkább tömör, még ha hamis is, majd mi kitaláljuk inkább, hogy miről is van valójában szó.

De van egy még jobb megoldás, bár ez is hosszú: „This page is intentionally left blank not counted this sentence.” „Ez az oldal szándékosan üres, eltekintve ettől a mondattól.” Tökéletes, de gondoljunk csak bele, ha minden ilyen üres oldalra ez lenne nyomtatva, minden olvasó felháborodott leveleket küldene a kiadónak, miszerint ők közönséges olvasók és nem filozófusok, ők nem akarnak minden üres oldal feliratán órákig gondolkodni, ők csak a könyvet szeretnék élvezni. És persze meg is lehet őket érteni.

Ha nem szeretnénk az oldalra tényleg semmit sem írni, akkor tehetnénk a könyv elejére egy listát ezzel a felirattal: „The following pages are left intentionally blank: 23, 57, …” („A következő oldalak szándékosan üresek: 23, 57, …”). Még ez lenne a legjobb megoldás, ha nem kellene az üres oldalakra oldalszámot nyomtatni, amitől ugye azok megint csak nem lennének üresek, így megint lenne egy hamis állításunk rögtön a könyv elején. Megtehetnénk ugyan, hogy nem nyomtatunk oldalszámot az üres oldalakra, de akkor szegény olvasónak az előző, vagy a következő oldal sorszámából kellene következtetni az üres oldalak sorszámára, ez pedig kinek hiányzik.

Mi a végkövetkeztetése ennek a sokak által nyilván teljesen feleslegesnek és értelmetlennek gondolt eszmefuttatásnak? Az, hogy hiába próbálunk logikusan, tisztán és főleg igaz szándékkal fogalmazni, vannak olyan esetek, ahol a logika és a szándék ellenére mégis hamis állításokat vagyunk kénytelenek tenni a tömörség és az egyszerűség érdekében. Másik tanulságunk az, hogy az emberi kommunikáció nemcsak állításokkal operál, hanem konvenciókkal is. Ha ugyanis kialakul az az általánosan elfogadott konvenció, hogy az eredetileg üresnek szánt oldalakat egy ilyen felirattal látjuk el, akkor a felirat már nem a valójában hamis jelentésével fog hatni az olvasójára, hanem a konvenciót megtestesítő tulajdonságával. Ha tehát a konvenció kialakul, akkor már nem is kell a mondatot értelmeznünk, a mondat konvencióként és nem állításként hat. Igaz, erre a célra tulajdonképpen bármilyen mondat megfelelne, de nyilván annak a mondatnak van esélye konvencióvá válni, ami mégis csak – még ha hamis jelentéssel is, de azért – kapcsolatban van azzal a mondanivalóval, amit végül is közölni szeretne.

Így végül én is, mint abszolút perfekcionista, kénytelen vagyok megbékélni ezzel a mondattal, nem tudván jobbat ajánlani, de azért furcsán fogok ránézni, valahányszor elém kerül, ezen azt hiszem nem tudok változtatni.

Hiszen valljuk be őszintén, mégis csak hamis állításról van szó, igaz?

És bár az előző mondat tökéletes lezárása lenne ennek az eszmefuttatásnak, a helyetértékelés mégsem lenne teljes, ha nem mutatnánk be a magyar gyakorlatot is, ami ugye nemes egyszerűséggel elhagyja ezt az inkriminált mondatot az üres oldalakról. Igaz, hogy ezzel megcsonkítja az eredeti tartalmat (valljuk be őszintén, nem érezzük hiányát az elveszett tartalomnak), de úgy tűnik a magyar gyakorlatnak, észjárásnak, konvenció halmaznak jobban megfelel egy teljesen üres oldal, mint egy magyarázattal ellátott. Mintha a magyar nyomda és könyvkiadás jobban megbízna az olvasóban, és feltételezné (joggal), hogy az olvasó amúgy is észrevenné, ha nyomdahiba miatt maradna üresen egy oldal. Az angolszász gyakorlat mintha kicsit leértékelné az Olvasó képességeit ebben a tekintetben, bár nehéz elképzelni, hogy kiadnak egy könyvet a kvantummechanikáról és közben feltételezik, hogy az Olvasó ne tudna egy üres oldallal használati útmutató nélkül elbánni. Talán inkább a túlzott precizitásra törekvés, a mindent túlbiztosítani akarás munkál az angolszász kiadókban?

Ha igen, akkor nem végeznek tökéletes munkát. Nemcsak teljes oldalak maradhatnak ugyanis üresen, de lehetnek olyan oldalak is, amelynek csak a tetején van mondjuk két mondat, és az oldal többi része üres, egyszerűen ott ért véget a mondanivaló. Az angolszász észjárás alapján ilyenkor az oldalra azt kellene nyomtatni: „The rest of this page is intentionally left blank.” („Az oldal hátralévő része szándékosan üres”).

És miközben már lemondtunk a tökéletes megoldásról, végül azért csak megtaláltuk. Hiszen a teljes oldal is, és az oldal hátralévő része is azért marad üresen, mert véget ér egy fejezet, vagy egy nagyobb összefüggő tartalmi egység. A „két legyet egy csapásra” elv alapján, a fejezetek végére illeszthetjük ezt a mondatot: „The rest of this page and the next page is intentionally left blank.” (Az oldal hátralévő része és a következő oldal szándékosan üres.)

Így ez a leghosszabb, igaz állítás, mely képes az üres laprészekkel kapcsolatos probléma optimális kezelésére.

Azt persze nem állítom, hogy a gyakorlatban is megállná a helyét.

A logikus és igaz állításoknak néha nehéz átjutni az emberi gondolkodás nem mindig racionális szűrőjén.

2012. április 8.

A Hilbert-hotel – a végtelen, közelebbről

Matematika, , , ,

A végtelenről még azt sem tudjuk, hogy létezik-e egyáltalán, mégis talán semmi sincs, ami ennyire elbűvölné az emberi képzeletet, és ami ennyi munkát adna a gondolkodóknak, mint a végtelen.

Van egy, a végtelenről szóló könyvekben gyakran felidézett bizonyítás arról, hogy a végtelenhez korlátlanul lehet hozzáadni további elemeket, attól a végtelen még ugyanolyan végtelen marad. Ebben a bizonyításban szerepel egy bizonyos Hilbert-hotel, a világ egyik legnagyobb matematikusáról, David Hilbertről elnevezett szálloda. Ez egy olyan különleges szálloda, melynek végtelen számú szobája van, és minden szobájában van is egy vendég (itt most tételezzük fel, hogy a szobák egyágyasak, azaz egy szobában csak egy vendég szállhat meg).

Érkezik egy új vendég. Mi a teendő? A bizonyítás szerint minden vendég költözzön egy számmal nagyobb számú szobába, mint amiben jelenleg van, így az első szoba szabad lesz az új vendég számára. Hasonló, kicsit trükkösebb gondolatmenettel, végtelen számú vendéget is el lehet helyezni a szállodában, sőt lehetőség van megszámlálhatóan végtelen szállodából érkező megszámlálhatóan végtelen vendéget is vendégül látni abban a Hilbert-hotelben, amiben már eredetileg is megszámlálhatóan végtelen számú vendég volt a megszámlálhatóan végtelen számú szobában.

Nekem ez a bizonyítás sohasem tetszett, és ezzel lehet, hogy egyedül vagyok a világon, ugyanis sehol sem olvastam még, hogy ezzel a bizonyítással kapcsolatban kétségek merültek volna fel.

Az első probléma: ha azt szeretnénk bizonyítani, hogy végtelen + végtelen = végtelen, van sokkal egyszerűbb módszer. A páros számok és a páratlan számok számossága végtelen, egy halmazba téve a számosság megszámlálható végtelen marad. A továbbiakban, hogy kevesebbet kelljen írni, végtelen alatt megszámlálható végtelent értek.

Ha a végtelenhez egyet szeretnénk hozzáadni, vegyük az 1 számot tartalmazó halmazt, és az 1-nél nagyobb számok halmazát, aminek a számossága végtelen. A két halmaz egyesítése végtelen számosságú halmazt ad.

Ugyanígy vehetjük a 2, 3, 4, … többszöröseit tartalmazó halmazokat, tisztítsuk meg a halmazokat úgy, hogy egy szám csak egyszer szerepeljen egy halmazban, ezen halmazok száma végtelen, a számosságuk egyenként végtelen, egyesítsük őket, visszakapjuk a pozitív egészek halmazát, ami végtelen számosságú.

Tehát mindhárom, a Hilbert-hotelben szereplő esetet bizonyíthatjuk a Hilbert hotel nélkül is, ráadásul problémamentesen, szerintem matematikailag is korrekt módon.

Ezzel ellentétben a Hilbert-hotellel kapcsolatban azonnal felmerülhet egy kérdés: miért kell az első szobával kezdeni az átköltöztetést? Miért nem lehet a tízedikkel, vagy az egy milliomodik szobával indítani a procedúrát? Minél nagyobb szobaszámot választunk, annál kevesebb vendéget kell megmozgatnunk. Úgy néz ki, az érvelés nem függ annak a szobának a sorszámától, ahonnan elkezdjük az átköltöztetést. Növeljük meg ennek a szobának a sorszámát minden határon túl, és mondjuk meg az új vendégnek, válasszon egy tetszőlegesen nagy sorszámú szobát, és onnan kezdve költöztessen át minden vendéget az eggyel nagyobb sorszámú szobába. Így ahelyett, hogy a vendégek költöznének, az új vendég megy egyre nagyobb és nagyobb sorszámú szobához, hogy rájöjjön, elegendő a következő szobánál kezdeni az átköltöztetést. Így viszont sohasem fog tudni beköltözni.

Mi a különbség az eredeti Hilbert-hotelben alkalmazott módszer és e között? Abban a változatban ismertük az első szoba helyét, és az egész végtelen sort eggyel eltoltuk, nem kellett azzal törődnünk, mi van a sor végén. Az új módszerrel viszont az vendégnek mintha az utolsó szobát kellene megtalálnia, azért, hogy ne kelljen a szállóvendégeknek kellemetlenséget okozni a költözéssel. Csakhogy nincs utolsó szoba, hiszen a szobák száma végtelen. Így a vendég végtelen ideig keresi azt, hogy hol van számára hely.

De, ha bármelyik szobánál elkezdjük az átköltöztetést, akkor a vendég megtalálja a helyét, ha egyre távolabbi szobát keresünk, a vendég nem tud beköltözni. Nem furcsa ez egy kicsit?

Mintha az átköltöztetéssel tulajdonképpen csak lepleztük volna azt a problémát, hogy nincs utolsó szoba. Mintha egy végtelen hosszú kockasort az elejénél megtoltunk volna egy kockányit, és nem érdekelne bennünket, hogy vajon ez a művelet elvégezhető-e.

Miért vagyunk annyira biztosak benne, hogy igen? Már persze aki biztos benne, én éppen azért írom ezt a kis értekezést, mert számomra ez nem nyilvánvaló. A végtelen természetéből következik, hogy a sor végéhez nem tudunk hozzáadni, nincs olyan, hogy sor vége. Miért természetes, hogy az elejéhez hozzá tudunk adni, illetve bárhová be tudunk szúrni egy új elemet.

Azzal, hogy elfogadtuk, hogy egy végtelen kockasort el tudunk tolni egy kockányival, már bizonyítottuk is, hogy egy hozzáadása a végtelenhez lehetséges. Csakhogy éppen ezt a lépést nem bizonyítottuk, így az egész bizonyítás hibás. Egyszerűen elfogadtuk, hogy lehetséges minden vendéget egy tetszőleges szobától kezdve (az eredeti bizonyításban ez az első szoba volt), nagyobb sorszámú szobába költöztetni.

Tudom, hogy matematikai problémáknál nem szabad a valós korlátokkal foglalkozni, de most mégis nézzük meg a gyakorlati megvalósítást: az első szoba kiürül, az új vendég beköltözik, egy vendég odakint van, amíg az ő szobája is felszabadul, akkor beköltözik, viszont egy újabb vendég költözik. Tehát az új vendég beköltözött, de egy vendég mindig költözik, vagyis nem csináltunk semmit, valójában az új vendég helyébe egy permanens költöző lépett.

Nyilván a matematikában ez nem probléma, a költözés végtelen gyorsan történik, így mégis csak elhelyeztünk mindenkit. Csakhogy, ez a helyzet ekvivalens azzal, mint ha az új vendég menne végig végtelen sebességgel a szobák során, és elfoglalná az utolsó szobát, amit végtelen sebességgel el tudna foglalni, még akkor is, ha számunkra ez az utolsó szoba elérhetetlen, nem tudunk rámutatni, nem létezik ilyen.

És van még egy nagyon furcsa gondolatom a Hilbert-hotellel kapcsolatban, ez már egy kicsit ingoványosabb terület, azzal kapcsolatos, hogy ha van egy megszámlálhatóan végtelen halmazom valamilyen dologból, akkor lehet-e ugyanilyen dolog a végtelen halmazon kívül. Azaz, ha végtelen számú ember van a Hilbert-hotelben, érkezhet vajon új ember a hotelhez? Ezzel azt a kérdést szerettem volna megfogalmazni, hogy vajon a végtelen egyúttal mindent magába foglaló is egyben? Vagyis, ha a Hilbert-hotel végtelen számú szobájában végtelen számú ember van, lehet-e valaki még odakint? A fordított módszert használva, a válasz: igen. Költözzön ki az első szobából a vendég, és mindenki költözzön eggyel kisebb számú szobába. Végtelen vendég lesz a hotelben, és lesz egy ember odakint is. Hogy mi lesz a sor végén, most sem tudjuk, hiszen számunkra nincs olyan, hogy sor vége, sem utolsó szoba.

Azaz a végtelen hotelből kiköltöztetve az embereket, elérhetjük akár azt is, hogy odakint ugyanúgy végtelen számú ember legyen, mint ahány vendég a hotelben van. Költöztessünk ki minden vendéget az első szobával kezdve, minden vendég kezébe adjunk egy darab papírt annak a szobának a számával, ahonnan kiköltözött. Az üres szobákat pedig lefelé töltsük fel. A kinti emberek kezében lévő papír a számmal, megfeleltethető az ugyanolyan számú szobának, amiben most olyan vendég van, aki nagyobb sorszámú szobából költözött kisebb számúba. Tehát egy-egy megfeleltetés lehet a kinti és benti végtelen számú ember között.

És bár a Hilbert-hotelről írva, több dolgot is jobban megértettem a végtelennel kapcsolatban, az bizonyos, hogy nagyon óvatosan kell vele bánni. A hétköznapi intuíciónk tévútra vihet. Én magam most azok közé tartozónak érzem magam, akik elfogadják a matematikai végtelent, az aktuális és potenciális végtelent is, viszont a fizikai, reális végtelen létezését nem tudom elfogadni, elképzelni sem. Annyi furcsa tulajdonsága van a végtelennek és a végtelen sok fajta végteleneknek, hogy az a valóságban már nagyon sok kellemetlenséget okozott volna, ha valóban létezne aktuális fizikai végtelen. Ám az, ahogy a matematikában kiderül, hogy mégis lehet bánni a végtelennel is, sőt igen hasznos dolgokra is lehet használni, lehet, hogy egyszer oda vezet majd, hogy ráismerünk a valóságban is valamilyenfajta végtelenre, olyanra, ami nem rémisztő, nem végzetes, viszont szükséges a Világegyetem működéséhez.

Ali Pazani képe a Pexels.com oldalról

Szerettem volna, ha a végtelent száműzni lehet a matematikából és a fizikából, de ahogy egyre érdekesebb dolgokat tudok meg a matematikai végtelenről, most úgy látom a végtelen száműzésével végtelen gazdagságot veszítene a tudomány. Ahogy a nulla is kilóg valamiképpen a matematikából, ahogy a NULL és a NIL problémákat okoz a programozásban, mégsem szabadulhatunk tőlük, így a végtelen is minden furcsaságával együtt része a világunknak.

Nyíregyháza, 2020. március 24. – 2020. június 3.