Rend és káosz: a közvélekedés egymás tökéletes ellentéteként tartja számon őket, a kiszámíthatóság és a megjósolhatatlanság, ha példát szeretnénk adni a kibékíthetetlen ellentétre, általában a rend és a káosz jut először eszünkbe.

És az ellentét tényleg valóságos: a rendezett állapotban lévő rendszer vagy nem változik az időben, vagy pedig pontosan kiszámítható a viselkedése. A kaotikus rendszer ezzel ellentétben kiszámíthatatlan, megjósolhatatlan, hogy az állapota milyen lesz egy jövőbeli pillanatban. Ráadásul ez a kiszámíthatatlan viselkedés nem is mindig annak köszönhető, hogy a rendszer nem determinisztikus, azaz véletlenszerű, tökéletesen determinisztikus rendszerek is lehetnek kaotikusak, amint azt az alábbi példákban látni fogjuk.

Ám ami igazán érdekes a kaotikus rendszerekben az az, hogy valamiképpen mégis csak korlátozottak, egy kaotikus rendszernek is meg vannak a határai, tehát egy kaotikus rendszer nem valamiféle mindent felfaló szörny, szabályoknak engedelmeskedik az ilyen rendszer is, csak ezt éppen nem tudjuk a viselkedésének előrejelzésére használni.

A kaotikus rendszer legfontosabb jellemzője a rendkívüli érzékenység a kezdeti feltételekre, és éppen ebből fakad a kiszámíthatatlansága. A legkisebb eltérés a kezdeti feltétekben óriási különbségeket okozhat a későbbi viselkedésben. Ezt szokták pillangó-effektusként emlegetni, egy pillangó szárnycsapása az Amazonas vidékén, óriási hurrikánt okozhat az Atlanti-óceánon. És ez nem túlzás, a kaotikus rendszer valóban ilyen.

Képzeljünk el egy teljesen sík lapot, amire egyenként homokszemeket ejtünk le. Kezdetben a homokkupac szépen fog növekedni, aztán ahogy egyre nagyobb lesz, és az oldala egyre meredekebben emelkedik, úgy fog egy-egy homokszem lecsúszni az oldalán. Aztán eljön az a pillanat, amikor a homokszemek elhelyezkedése olyan belső feszültséget okoz a kupacban, hogy egyetlen újabb homokszem érkezése, egy hatalmas omlást okozhat, a halom nagyon nagy darabja válhat le egyszerre, És hogy mikor jön el ez a pillanat, na ez az, amit nem lehet kiszámítani. Pedig a homokdomb viselkedését csak két dolog befolyásolja, a gravitáció és a homokszemek tapadása. Mindkettő leírható a fizika egyenleteivel. De a számításokban csak véges pontosságú számok szerepelhetnek, a kaotikus viselkedést viszont pontosan a rendszer érzékenysége okozza, amit csak olyan kis számokkal lehet leírni, ami a jelenlegi eszközeinkkel nem lehetséges.

         Most pedig nézzünk konkrét példákat a kaotikus rendszerekre: 

Csillagászat

Stabil-e a Naprendszer? Ez a kérdés elsőrendű fontosságú mindannyiunk számára, ha ugyanis a rendszer, aminek a Föld és rajta mindannyian a részei vagyunk, instabilnak bizonyulna, az katasztrofális következményekkel járna.

Azt hihetnénk a válasz egyszerű, hiszen a Naprendszer viselkedését egyedül a gravitáció irányítja, a megfelelő egyenletek megoldásával, a kérdés eldönthető. Csakhogy van egy bökkenő, az egyenletek csak akkor oldhatóak meg, ha a rendszerben mindössze két égitest van. Három test esetén, amit háromtest problémának nevez a fizika, az egyenleteknek nincs megoldása. A rendszer kaotikus. Olyannyira, hogy egy megfelelő összeállítással kialakítható olyan rendszer, ahol két égitest a harmadikat idővel teljesen kidobja a rendszerből. Ez viszont egészen aggasztó következtetés, hiszen a Naprendszerben nem három égitest van, hanem sokkal-sokkal több. A rendszernek teljesen kaotikusnak kellene lennie, de valamiért mégsem az. Hogy ennek mi az oka, a mai napig nincsen rá válasz. Illetve adható rá válasz, de ezt nem mindenki fogadja el, mert ez azt tételezi fel, hogy a Naprendszer égitestjei olyan gondos tervezéssel kerültek a megfelelő helyre, ami a rendszer hosszú távú stabilitását okozza, ez az, ami lehetővé tette az élet és az ember megjelenését és fennmaradását a Földön. A Naprendszer stabilitása az Univerzum finomhangoltságának egyik legjobb bizonyítéka.

Turbulencia

Az egyik leglátványosabb megnyilvánulása annak, hogy a rend hogyan válhat káosszá, a turbulens áramlás jelensége. Ha kinyitunk egy vízcsapot, éppen annyira, hogy a csepegés meginduljon, azt fogjuk látni, hogy a cseppek szabályos időközönként követik egymást, akár időmérő eszközt is készíthetünk így, ezt a régi görögök meg is tették. Nyissuk ki jobban a csapot, a cseppek egyre gyorsabb ütemben követik egymást, majd az áramlás gyorsulásával, a lehulló cseppek utolérik egymást, és kialakul egy következő stabil állapot, az egyenletesen kifolyó vízsugár, ami szintén alkalmas időmérésre, feltéve, hogy a folyó víz sebessége állandó. Ha tovább folytatjuk tovább a csap kinyitását, lesz egy olyan pont, amikor a viselkedés radikálisan megváltozik. Megszűnik az egyenletesség, a rendezettség átadja helyét a káosznak, a víz már a csőben örvényeket alakít ki, és ezek az örvények aztán olyan összetett és bonyolult viselkedést produkálnak, ami megjósolhatatlan, és természetesen az egyenletesség megszűnésével, a turbulens áramlást időmérésre már nem használhatjuk.

A turbulens viselkedés nagyon sok problémát okozhat a gépjárművek, hajók és repülőgépek számára is, elsősorban a légi közlekedésben okozott már súlyos katasztrófákat a levegő turbulens áramlása.

Radioaktív bomlás

           

Nagyon érdekes jelenség a radioaktív elemek bomlása is, itt a káosz (a véletlen) és a rend együttes meglétét figyelhetjük meg. Egy adott mennyiségű radioaktív anyagban, ha egyetlen atomot vizsgálunk, nem tudhatjuk pontosan mikor fog elbomlani, mert ezt a tökéletes véletlen irányítja, nincsen rá pontos fizikai szabály. Viszont az illető elemre jellemző felezési idő elteltével az eredeti anyagmennyiség fele fog elbomlani. Ez teljesen rendezett viselkedés, amit az atomi szinten jelen lévő rendszer állít elő, és aminek a megértése egyelőre még várat magára.

Kettős inga

Egy újabb példa arra, hogy rendezett rendszerekből hogyan állhat elő a káosz, a kettős inga. Az egyszerű inga viselkedése rendezett, teljesen jól leírható a gravitációs törvény alapján. A rendezettség és a szabályosság annyira jellemző az inga mozgására, hogy nagyon sokáig az ingaóra volt a legpontosabb időmérő eszköz. Ha azonban az inga végéhez egy másik ingát illesztünk, a kettős ingát kapjuk, aminek a viselkedése teljesen megjósolhatatlan, az egyik legjobb példája a kaotikus rendszernek. Pedig mindkét inga mozgása determinisztikus, összecsatolva viszont kaotikus rendszerré válnak, a két determinisztikus inga egymással való kölcsönhatása kaotikus rendszert eredményez. Még azt sem tudjuk megtenni, hogy kétszer elindítva az ingákat, azok ugyanolyan utat járjanak be. A rendszer rendkívüli érzékenysége a kezdeti feltételekre ezt lehetetlenné teszi.

Meteorológia

De honnan is eredeztethető a káosz-elmélet? Edward Lorenz meteorológus az elsők között volt, aki számítógépet használt a légköri jelenségek modellezésére. Akkor fedezte fel, hogy ha egy szimuláció részeredményeit újra betáplálja a számítógépbe, nem fogja visszakapni a korábbi végeredményt. Egyszerűen azért, mert a betáplált adat pontossága kisebb volt, mint amilyen pontossággal a számítógép dolgozott. És ez az elhanyagolhatónak gondolt különbség az adatok pontosságában nagyon nagy eltérést okozott a végeredményben. Ekkor vált nyilvánvalóvá a kaotikus rendszerek alapvető ismérve, a rendkívüli érzékenység a kezdeti feltételekre. Lorenz a kaotikus rendszerek vizsgálata közben rátalált a Lorentz-attraktorra, ami a rendszer viselkedésének grafikus ábrázolása:

Forrás: Wikipedia Commons (szabadon felhasználható)

Az ábrán jól látható a kaotikus rendszerek korábban már említett két fő jellegzetessége: a rendszer korlátos, de a korlátos állapottérben soha nem futja be kétszer ugyanazt a pályát. Egyébként a görbe alakjáról kapta a nevét a korábban már említett pillangó-hatás.

Gazdaság

Sok résztvevős, egymástól függetlenül viselkedő egyéneket egyesítő rendszerekben, mint amilyen a gazdaság, vagy a bankrendszer, a pénzvilág, jól ismert jelenség a válság, ami szintén kaotikus jelenség, és nagyon jól magyarázható a pillangó-hatással. Egy túlfeszített, fedezetlen hitelekkel terhelt bankrendszerben valaki bemegy a bankjába, és szeretné   felvenni a megtakarításait. A bank hirtelen nem tudja az összes pénzt kifizetni, aminek a híre pillanatok alatt elterjed, még aznap beüthet a válság, aminek nagyok sok kárvallottja lehet. Sajnos a közelmúltban is láttunk erre példát, amikor bankok kerültek csődhelyzetbe egymás után. És ez időről időre megismétlődik, bármilyen módon próbáljuk is ezt megelőzni, a válság az ilyen komplex, érzékeny rendszerek velük született tulajdonsága.

Történelem

Birodalmak, amelyek hosszú stabil időszak után, ami a római birodalom esetében több évszázad volt, hirtelen omlanak össze. Ilyen volt Nagy Sándor birodalma, a babiloni birodalom, Napóleon birodalma, és még sorolhatnánk a példákat akár a közelmúltból is. Utólag születnek magyarázatok, amik felsorolják az előjeleket, de ezeket csak az összeomlás után könnyű felismerni, előtte senki sem látja ezeket, kivéve talán a prófétákat, de az ő sorsuk általában az, hogy senki nem hisz nekik. A feszültség a társadalomban sokáig növekedhet, akár teljesen láthatatlanul is, aztán elég akár egyetlen ember, hogy sorsfordító eseményeket indítson el.

Élővilág

A legegyszerűbb rendszer, amiben egy ragadozó és egy zsákmányállat vesz részt, képes rendkívül bonyolult kaotikus viselkedést produkálni, a rendszer stabil állapotok hosszú időszaka után is el tud jutni olyan szélsőséges helyzetekig, mint a ragadozó, vagy a zsákmányállat teljes kipusztulása, vagy a túlnépesedés. Minél több résztvevő lép be a rendszerbe, a rendszer egészen stabillá is válhat, de megnövekedhet a szélsőséges viselkedés is, megjósolhatatlanul.

Katasztrófa jelenségek

A katasztrófa jelenségek mind-mind a pillangó-hatás következményei, a felhalmozódó feszültségek olyan állapotba viszik a rendszert, amikor a legkisebb hatás is elindíthatja a katasztrófát. Vulkánkitörés, földcsuszamlás, földrengés, mindegyik a már bemutatott homokdomb esetével analóg módon működik. De kevésbé súlyos következménnyel járó jelenségek is létrejöhetnek a pillangó-hatás eredményeként, ilyen a villámlás, de akár egy váratlanul érkező zápor is.

Matematika

És végül következzen egy csodálatos „teremtménye” a matematikának, a méltán híressé, emblematikussá vált Mandelbrot-halmaz:

Forrás: Pixabay.com (szabadon felhasználható)

A Mandelbrot-halmaz egy nagyon egyszerű szabály alapján állítható elő, de olyan kimeríthetetlen bonyolultságot jelenít meg, ami még esztétikai élményt is okoz a szemlélőjének. A komplex számsík pontjain kell végighaladnunk, minden pontban el kell végeznünk egy egyenlet rekurzív kiértékelését, ami azt jelenti, hogy a számítási folyamat során egy számítás bemeneteként, az előző lépés eredményét kell felhasználnunk. Attól függően színezzük ki az adott pontot, hogy ott a számítás a végtelenbe tart, vagy korlátos marad. Ez az egyszerű folyamat adja végül a Mandelbrot-halmazt, aminek láthatóan három része van, a külső és belső területek üresek, nincs bennük semmi érdekes, a határvonal viszont elképzelhetetlenül bonyolult. Bármekkorára is nagyítjuk az egyes részeket, a bonyolultság újabb és újabb tartományai bukkannak elő, és ami a legérdekesebb a halmaz magában foglalja önmaga teljes másolatait. Bizonyos területeket felnagyítva, egyszer csak rátalálunk a Mandelbrot-halmaz elforgatott másolataira. A halmaz önhasonló, ráadásul a határvonal, azaz maga a halmaz határának a hossza minden korláton túl nő.

Ez a halmaz joggal vált a Lorenz-attraktor mellett a káosz jelképévé. Vajon létezett-e azelőtt is, hogy legelőször testet öltött egy számítógép monitorán?

Szűcs János

Nyíregyháza, 2024. március 17.

Az írás megjelent az „Élet és világosság” 2024. májusi számában.