Hit és matematika - az üres halmaz

Ha korábban azt gondoltuk volna, hogy a matematika egy tisztán elméleti, egzakt, pontos és racionális tudomány, aminek a hithez végképp semmi köze nem lehet, akkor az üres halmaz kapcsán érdemes ezt a véleményünket átgondolni.

A halmazelmélet egyik érdekes állítása szerint, az üres halmaz minden más halmaz részhalmaza. A bizonyítás úgy szól, hogy ha az üres halmaznak lenne olyan eleme, amely nem eleme a tetszőleges halmaznak, akkor az üres halmaz nem lenne üres. Tehát az üres halmaz minden eleme, eleme a tetszőleges halmaznak is, tehát az üres halmaz részhalmaza minden más halmaznak.

Az állítás nem tér ki arra, hogy ez érvényes-e magára az üres halmazra, de a bizonyítás alapján úgy tűnik, igen, azaz, az üres halmaz részhalmaza az üres halmaznak is.

Csakhogy, akkor az üres halmaz nem lehet üres, hiszen van benne egy üres halmaz, amiben szintén van egy üres halmaz, és így a végtelenségig. Az üres halmaz tehát nemcsak, hogy nem üres, de egy végtelenül komplex szerkezet.

Ami nyilván egy képtelen állítás. Két feloldása lehet a paradoxonnak, vagy nem létezik üres halmaz, vagy nem részhalmaza tetszőleges más halmaznak.

Én az első lehetőséget tartom elfogadhatónak, éppen azért, mert láttuk a bizonyítás alapján, hogy ha van üres halmaz, akkor az minden halmaznak részhalmaza, ebből kaptuk az ellentmondást, hogy nincs üres halmaz. Ez tehát egy klasszikus indirekt bizonyítás: feltesszük valamiről, hogy igaz, majd ellentmondásra jutunk, tehát a kiinduló feltételünk hamis volt. Ebben az esetben feltételeztük, hogy létezik üres halmaz, ezt tehát most el kell vetnünk.

Hogy ez miért lehet probléma? Mert létezik a számelméletnek egy halmazelméleti megalapozása, ami az üres halmazból kiindulva definiálja az egész számokat (beleértve a nullát is). Nekem ez sohasem tetszett igazán, bár a fantáziámat megmozgatta a semmiből való teremtés lehetőségét megcsillantva, de most már láthatjuk, hogy ez csak csalfa remény volt. Semmiből nem lehet teremteni, és az üres halmazból sem lehet egész számokat létrehozni.

Tulajdonképpen mindig is az volt a bajom ezzel az elgondolással, hogy valami természeteset, az egész számokat definiálja valami olyasmivel, ami nem természetes, az üres halmazból képzett halmazokkal. Ráadásul eszerint a számok valójában halmazok, ami egy erős, és valószínűleg nem is igaz állítás. Én sokkal természetesebbnek vélem azt, ha axiómaként a természetes számok létezését fogadjuk el, mintha azokat a sokkal elvontabb halmaz fogalmával ragadnánk meg.

A halmaz valójában egy konstrukció, mégha elméleti konstrukció is, szerkezete van: vannak elemei, és van a halmaz, és van az "eleme" reláció, ami megmondja, hogy valami eleme-e ennek a halmaznak. Ha az üres halmazt létezőnek tekintjük, akkor azt mondjuk, hogy a semminek is lehet szerkezete, ami ugyan nem egy létező fizikai szerkezet, de egy létező logikai építmény. A semmit szerkezettel felruházni tehát nem érdemes, mert akkor az már valami lesz, nevezetesen egy szerkezet, aminek összetevői vannak.

Közelítsünk egy másik irányból: van öt almánk, megesszük mind az ötöt. Mi marad? Mondhatjuk azt, hogy nulla almánk maradt? Igen, de ezzel az erővel azt is mondhatjuk, hogy nulla körténk maradt! Azzal, hogy megettük az összes almát, nemcsak az "5" számot veszítettük el, hanem az "alma" minősítő fogalmat is. Nem mondhatjuk tehát, hogy nulla almánk maradt, hiszen emellett még végtelen dolgot felsorolhatnánk, amiből szintén nulla darabbal rendelkezünk. Azt sem mondhatjuk persze, hogy nincs semmink, hiszen lehetnek a birtokunkban más tárgyak is. Az egyetlen megoldás az, ha múlt időben beszélünk az 5 almáról, és nem bolygatjuk azt, hogy jelenleg hány almánk van.

Így van ez az üres halmazzal is: ha egy halmazból minden elemet elveszünk, akkor nemcsak az elemeket veszítjük el, hanem magát a halmazt is. Ha nincsenek elemek, akkor nincsen halmaz sem. Ha megettük az összes almánkat, akkor nincs olyan halmazunk, amiben almák vannak.

Ezek után ismét feltehetjük a kérdést: létezik-e üres halmaz? A fenti gondolatmenet alapján kijelenthetjük, hogy nem. A matematika történetében viszont több, mint száz éve jelen van a halmazelmélet, és ebben valamikor megjelent az üres halmaz fogalma is, ami bizonyítások sorában szerepel. Kinek van igaza? Annak, aki szerint nincs üres halmaz, vagy azoknak, akik ezt természetes módon használják a bizonyításaikban?

Van erre valamilyen mód, hogy ezt eldöntsük? Ha eddig nem beszéltünk a hitről, akkor most elő kell vennünk, ugyanis az üres halmaz létezésében vagy nemlétében csak hinni lehet, megbizonyosodni arról nem. Nincs olyan kísérleti módszer, amivel ez eldönthető lenne. Nem mutathatunk rá egyetlen üres halmazra sem, ezzel egyszer és mindenkorra bizonyítva annak létét. Beszélhetünk az üres halmazról, de ettől még a léte nem lesz bizonyított tény.

Ráadásul, ha azt állítjuk, hogy az üres halmaz nem létezik, ettől nem omlik össze semmi. El kell ugyan vetnünk a számelmélet halmazelméleti megalapozását, de ehelyett elfogadhatjuk a természetes számok létezését axiómaként. Persze ez is hit kérdése, de a számok létezésében nagyjából mindenki kora gyermekkora óta hisz, tehát ez nem okoz eltérést a hétköznapi tapasztalatainktól.

Hogy mit higgyünk el és mit ne, erre persze nincsen axiomatikus eljárás, hiszen akkor előbb ennek az eljárásnak a jogosságában kellene hinnünk, ez pedig megint csak hit.

A végső következtetésünk tehát az, hogy még az olyan racionális tudomány is, mint a matematika hiten alapszik. Az axiómákban csak hihetünk, ha nem okoznak ellentmondást, akkor hinnünk kell bennük. De hangsúlyoznunk kell, hogy ez a hit nem keverendő össze a vallásos hittel, a matematikai alapfogalmakban való hit egyszerűen követelmény, annak a következménye, hogy valamiből ki kell indulnunk, nem lehet minden valami másnak a következménye.

Persze nem zárhatjuk ki azt sem, hogy a hit forrása végső soron mégis csak valami természetfölötti. A platóni ideák lehet, hogy tényleg léteznek valahol egy fölöttünk lévő szellemvilágban.

Hogy ebben hiszünk, vagy sem, az már csak hit kérdése...

2018. szeptember 30.